数学建模：全球食品系统再优化

数学建模：全球食品系统再优化

### 摘要：

本文对全球食品系统进行了粗略的研究，试图解析全球食品体系并对此体系进行验证与实际的应用

我们建立了一个综合的评价模型、优化模型和时间预测模型。在食品系统的综合评价模型中，我们利用熵法和变异系数法找到主要指标和次要指标的权重，使这些指标可以归因于一个数据。最后通过这些相关数据对系统模型进行观察研究，从而探索出该数据对模型的影响、以及所产生的影响对实际问题有什么作用与意义，借此研究全球的食品体系。

我们首先尝试研究中国的食品体系，再将研究中国所得到的结论用于发达国家美国进行扩展测试，这样可以进一步演算模型的可靠性与泛用性，从而能使该模型在以后的实际问题研究中（即研究除中国、美国之外的其他国家的食品体系）能够产生实际的作用，以便于得到可靠度较高的数据（当然存在灵敏值的差异，但尽可能缩小该灵敏值）去应用与我们相关的数学建模与课题研究中去，解决实际的问题。而不是为了计算而计算，我们更加注重数据的实用性与普适性。

然后我们计算了FSI、更改和更改优先级之后和数据。用于验证模型的稳定性，以保障我们的模型可以更加真正地反映了实际情况。

目录

[TOC]

前言：

2015年，联合国各国承诺制定《2030年可持续发展议程》。该议程认识到，必须超越饥饿，确保实现全年人人获得充足、安全、营养价值高的食物的目标，并消除一切形式的营养不良。

食品系统的是否健全对人类社会的发展起着至关重要的作用。目前的食品系统仍面临着许多挑战，世界上饥饿人口的数量一直在缓慢增长，因此重新优化一个强大的食品系统至关重要。只有进一步优化了全球食品系统，才能保证在以后能科学客观地分析全球的粮食资源分配以及饥饿人口的变化趋势，从而能利用科学的大数据来更加具体地解决实际的问题。

2020年联合国粮农组织，重新评定了中国的粮食状况，在中国大规模脱贫，消除绝对贫困的背景下依旧有，近6.9亿人处于饥饿状态，占世界人口的8.9%，一年内增加了1000万人，五年内增加了近6000万人。

尽管重新评估了中国的饥饿程度，但世界上大多数营养不良的——3.81亿人仍然存在于亚洲。2.5亿多人生活在非洲，那里的营养不良人口增长快于世界任何其他地区^[1]^。所以，全球的食品系统优化问题不可忽视。

本优化模型由三位同学合作完成。L1同学负责模型构建与计算；L2同学负责提出假设，问题分析以及模型评价部分；G同学负责数据收集图标制作等工作。

1. 问题重述

联合国估计全世界仍有 8.21 亿人遭受饥饿，此外，当前的粮食系统对环境产生了巨大的影响，随着我们的全球人口持续增长，而我们却经历了数十年环境滥用的日益严重的影响，在维持甚至改善我们的环境健康的同时提供更多的食物 从未如此重要。

国际食品管理(ICM)委员会要求您的团队开发一个模型来重新构想我们的食 品系统并重新确定其优先级。ICM 委员会让你的团队来决定这些系统的哪些方面。

值得成为建模活动的重点。您的团队应该提供一个足够健壮的食品系统模型，以便能够根据效率、盈利能力、可持续性和/或公平性的不同水平对其进行优化调整。

无论您关注全球或本地的范围如何，食物系统都很复杂。您应该考虑的一些

问题包括但不限于：

• 如果考虑公平性和可持续性，应该如何优化粮食系统？优化后的新系统与当前系统有何不同？这样的系统实施需要多长时间？
• 改变粮食系统重点的收益和成本是什么？它们什么时候发生？这些收益和成本在发达国家和发展中国家之间有何不同？
• 建立食品系统模型后，将模型应用于至少一个发达国家和一个发展中国家，以支持您的发现
• 讨论模型的可伸缩性和适应性。

2. 模型假设：

根据题意进行如下假设

1. 所有的农业机械在建模中不做区分，视为同一变量
2. 粮食耕地不做自然环境的区分，权作为单一变量
3. 忽略农村人口中，非农业人口数量
4. 忽略战争，天灾等不可抗力影响

3. 问题分析：

全球粮食系统，在我们团队的认知中最重要的并非是庞大的国家和国际食品生产商和分销商组成的全球体系，而是各个国家实际上的粮食产量。

由于时间和团队等多方面的制约，本次全球食品系统再优化的尝试，只进行粮食系统的生产方向的优化，试图以多变量的优化分析中国粮食产量自2002年至今的快速增加，并在全球范围内对比其他国家验证所构建的模型。

我们试图分析中国粮食作物总量与化肥消耗，谷物耕地面积，农村人口，农机具保有量等多参数的影响。建立多变量的优化模型。

4. 样例分析

4.1、 发展中国家：中国

获取到的数据中，最早时间是1960年，那时的中国还是一个较为落后的农业国家，但通过不断改革和优化其粮食农业体系，是中国的农业发展有了明显的上升趋势，具体表现为近一段时间与上世纪60年代到世纪末表现出完全不同的生产状态，为增加模型精度，特从2003年开始计算。以保障本优化模型的可靠性。

按照农业进口出口比例计算，2018年中国粮食进口24948734吨，出口34577854，总产量614697756吨，自给率达96.41%，并主要集中于大豆等经济作物。国家的食品供应能力在全球位居前列。中国耕地面积为1432960平方公里，中国政府用占据世界上%7的耕地面积，养活了占世界人口总数20%的中国人民。

由于上世纪末至本世纪初的十年间，中国耕地面积下降。中国政府在2009年化设耕地红线即15.60亿亩的基本农田数。中国谷物耕地面积至2002年的低点逐年上升

表1为中国谷物耕地面积，表2为中国农业GDP，表3为化肥消费数,表4为中国农业机械数量列表。

表1 中国谷物耕地面积（公顷） 表2 中国农业GDP（美元） 表3 化肥消费数（千克）/公顷 表4 中国农业机械数量 由已知信息可以看出在2002年后，中国农业GDP的曲线与中国耕地面积的曲线十分接近，有理由相信耕地面积是影响农业GDP的最主要因素。

4.2、 发达国家样本：美利坚合众国

美国是当今全球最为发达的国家，农业高度发达和高度的机械-现代化。美国的农业自给率极高，按照出口/进口的自给率计算，美国的自给率高达119.56%。为世界主要粮食出口国之一。国家为农业提供一定的财政补贴，以确保农业生产。同时，美国为农业发展提供了大量的政策支持。

美国是一个发达国家，它的农产品产量和各项指标更稳定，仍处于较高水平，在相邻几年之间只有轻微的上下波动

5. 模型建设：

• 由已知数据建立（数据见附录1）

5.1模型的思路设计

按照统计学的观点，以化肥消耗，谷物耕地面积，农村人口，农机具保有量占比作为参数建立一个四维随机变量，记作x=(x1,x2,x3,x4)^T^,用一组单位向量(a,b,c,d)假设为相应参数。

列出对应的矩阵：

简记作:

• Y=A~x~，A=(a,b,c,d)^T^

a,b,c,d称为主成分系数。一般要求y1，y2，y3，y4，之间互不相关，保证协方差矩阵Coy（y）为对角阵

按照y的协方差矩阵应为对角阵的要求，有：

我们分析了2003至2019年的相关数据对矩阵进行求解。从中挑选不关联年份(2003,2008,2013,2018)建立矩阵，求解向量A(a,b,c,d)^T^

用协和矩阵或相关系数矩阵使用Matlab的pcacov函数进行主成分分析求得，(a,b,c,d)^T^，使用Matlab进行求解，得到(a,b,c,d)^T^ ，此时，我们令(a,b,c,d)^T^ = A,

可以得到:Y=Ax并且，即A = (a,b,c,d)^T^ ；从而建立一个具体的模型，使问题不再抽象，a~1~ ,a~2~ ,…,a~p~称为主成分系数。这些主成分系数可以通过SPSS进行计算

5.2 模型在软件中的实现

将数据放入SPSS中并进行主成分分析，就可获得我们想要的数据

5.2.1 检验各元素之间的关联程度

• KMO和巴特利特检验

KMO 取样适切性量数		.686
巴特利特球形度检验	近似卡方	90.887
	自由度	6
	显著性	<.001

一般情况下，KMO值应大于等于0.6，Sig值应小于等于0.05，元素之间关联程度。由数据可见，各元素之间关联性较大，可以用其它的表格去求取主成分系数。

5.2.2 根据SPSS所给的特征值和成分矩阵算出主成分系数

总方差解释 碎石图

设成分i中对应的第j个变量的主成分为pij,第i个特征值为ri, aij表示yi中xi前的系数, ki表示特征值的累计（占比），x`i为标准化后的变量，yi为主成分得分，所以由结论可得：

y1=a11x`1+a12x`2…+a1px`p

y2=a21x`1+a22x`2+…+a2px`p

yn=an1x`1+an2x`2+…+anpx`p

综合得分：y=k1y1+k2y2+…+kn*yn

在本数据中，主成分分别为p1,p2,p3,p4,特征值为r1,r2,r3,r4,根据碎石图可知，占比最高的特征值只有一个，所以只要求取y=a1x1+a2x2+a3x3+a4x4中的主成分系数即可。

5.2.3 算出最终的综合得分

经过计算得出：y=0.487x ~1~+0.516x~2~+0.480~x3~-0.516~x4~

再在SPSS的数据编辑器中算出x~1~,x~2~,x~3~,x~4~

再列出表达式算出综合得分

5.2.4 综合得分与实际的比较

将粮食总产量标准化后的数据与主成分得分进行比较，变化趋势基本一致，所以用SPSS进行对粮食总产量的评定具有可操作性

5.3 分析主成分系数

首先，由上面的计算可知，谷物耕地面积，农业机械总量，化肥消费量，农村人口所对应的系数分别为0.487，0.516，0.480，-0.516。所以，谷物耕地面积，农业机械总量，化肥消费量对粮食总量有促进作用，三者相差不大，而农业机械总量所对应的系数偏大一点，这表示随着现代化，高新技术的农业机械运用到农业中，农业也大幅度增产，与此同时，农村逐步实现现代化，需要的劳动力也逐渐减少，也有部分农村发展成城市，农村人口同时也减少，所以农村人口所对应的系数为负值。

5.4 得出结论

我们要继续促进农村的现代化，实现农业机械的现代化，谷物耕地面积，化肥消费量也不可以减少，与此同时，也要加强新农村的建设，在不影响农业所需要的劳动力同时，适当地将农村人向城市人过渡。这些因素可以一定程度上，促进粮食总产量

6. 灵敏度分析：

我们将目标函数写成偏导的形式

对于每一个数据的偏导数实际上即向量A的各项系数。A=0.487,b=0.516,c=0.48,d=-0.516;

我们通过改变每个指标的权重来优化当前的食品系统。为了证明我们开发的模型的鲁棒性，我们选定了发达国家：美国、以及发展中国家：中国，并对他们的年度FSI指数进行分析研究，我们得到以下结论：

美国与中国的FSI指数走向都稳定趋势。但针对于其他发展中国家如尼泊尔，可以发现其FSI指数有着明显的剧烈波动。此外，对于不同国家，FSI指数曲线在短时间内相对于当前系统没有显著变化。当前各国的拟合曲线与各个国家发展状况大体保持一致。这表明，我们的模型可以很好地适合当前的系统。这也可以证明我们的模型的稳定性，因此我们可以使用该模型对这个这个国家的粮食系统做一些简单的评估与研究。

7. 结论分析：

8. 模型评价：

8.1 优势：

1. 指标被充分考虑，数据相对严格，以方差衡量信息的无监督学习，不受样本标签限制。从而适用于许多国家和地区
2. 利用熵加权法确定每个指标的权重更加客观，并将定性分析转化为定量分析，这更有说服力
3. 利用少数指标代替多数指标，利用PCA降维是最常用的算法。通过量化该指数的结果，我们可以使评估该指数的等级变得更有说服力，从而判断食品系统的优点
4. 该模型通过建立组合指标FSI和成本效益指标的回归方程式和迭代计算，充分考虑了这些指标之间的相关性
5. 使用本模型，进行合理改造生产，能够在一定程度时解决由粮食产量不足带来的粮食短缺问题
6. 使用该模型使计算方法简单化，更有利于借助计算机来实现数据模型的搭建

8.2 不足 ：

1. 由于时间等客观因素的限制，我们不评估其他有不同条件的国家食品系统发展概况。如在自然条件极其恶劣的国家和地区的模型应与本模型不同
2. 面对食物系统优化，如饮食结构，缺乏考虑到人的可接受性。比如西方国家对肉食的大量消耗
3. 该模式没有考虑到国家政策，自然灾害、外部资金和其他政策的影响
4. 在一些情况下，过于理想化，将不同的土地，不同的机械种类，看做完全相同。过于的理想化，在具体与测时存在较大误差
5. 本优化只涉及到粮食生产环节，在整个粮食系统中生产只占据其中的一个环节。对于粮食这一大宗商品的的全球贸易和运输分配等问题没有做出研究
6. 在研究方法上，我们设计的主成分解释其含义往往具有一定的模糊性，不如原始数据样本完整，一定程度上会使误差增大
7. 数学建模计算问题上，特征值矩阵的正交向量空间是否唯一有待讨论，可能存在一定的偶然性

8.3 进一步讨论：

• 适用性：

评估中国和美国两国农业生产的结果与两国目前的发展状况基本一致，表明该模型具有非常强大的普适性，即不同的地区不同发展水平的国家都可以应用该模型。 都可以得到较为具体的数据

• 创新性：

对问题所牵扯的变量进行数学化，具体化，以便于理解与应用，更便于实际问题的解决

• 优化方向：

下一步的优化工作一方面是对已有四个维度进行细化，对于土地面积维度，我们可以根据不同的维度位置，土壤种类进行分类增加参数，提高模型精度。对于农业机械，大型农机具与中小型农机具有本质的不同，也是可以继续优化的内容。

9. 研究结论

发达国家的生产状况和社会结构相较于其他发展中国家更加稳定，人民生活也更加安全与富足，因此，我们建议集中解决国家的环境问题和人民的饮食习惯，确保均衡健康的饮食。但是作为发展中国家，其主要目标首先是有足够的食品养活人民，这就要求了国家当局者的首要民生工作必须是增加粮食年生产总量，重点是农业基础设施建设，以及与农业相关的政策补贴，通过对农业生产的大力调整来保障人民的基本生计。

作为研究对象的中美两个国家在全球粮食生产上都占有的举足轻重的地位，美国是世界上最大的粮食出口国，中国是世界最大的粮食生产国，且两者在全球范围上耕地面积十分巨大；从事粮食生产与加工的人员也是占据着大量的全球人口比重。研究两个国家的农业发展规律对世界粮食系统可谓是影响巨大。

耕地面积，对一个国家的粮食中产量起着最为关键的作用，当然，在保持耕地面积的基础上，像农业生产的机械数量与从事农业生产的人口比重也都对一个国家的粮食总产量有着不可忽略的影响

参考文献：

[1]2020年联合国粮农组织年度报告